Задача 109082

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Плоскость проходит через середины рёбер AB и AC пирамиды ABCD и делит ребро BD в отношении  1 : 3.
В каком отношении эта плоскость делит ребро CD?

Решение

Пусть M и N – середины рёбер AB и AC соответственно, а K – точка ребра BD, для которой  BK : KD = 1 : 3.  Прямая MN параллельна ребру BC (по теореме о средней линии треугольника), поэтому прямая MN параллельна плоскости BCD. Секущая плоскость проходит через прямую MN, параллелельную плоскости BCD и имеет с этой плоскостью общую точку K. Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью BCD по прямой l, параллельной MN, а значит, и BC. Пусть прямая l пересекается с ребром CD в точке L. Тогда L #8211; точка пересечения секущей плоскости с ребром CD. Так как  KL || BC,  то
CL : LD = BK : KD = 1 : 3.

Ответ

1 : 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8147