Условие
Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от
двух заданных точек пространства, есть плоскость, перпендикулярная
отрезку с концами в этих точках и проходящая через середину
этого отрезка.
Решение
Пусть плоскость
α перпендикулярна прямой
AB и проходит через
середину
M отрезка
AB .
Если
P – произвольная точка этой плоскости, отличная от
M , то
AB 
PM , поэтому
PM – высота и мединана треугольника
APB .
Значит, треугольник
APB равнобедренный. Следовательно,
PA = PB .
Пусть теперь
P – произвольная точка пространства,
равноудалённая от точек
A и
B . Если
P отлична от
M , то медиана
равнобедренного треугольника
APB является его высотой. Поэтому
PM
AB . Если бы при этом точка
P не лежала в плоскости
α , то плоскости
α и
APB пересекались бы по прямой, проходящей через точку
M и
перпендикулярной прямой
AB , а значит, в плоскости
APB через точку
M
проходили бы две прямые, перпендикулярные
AB , что невозможно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8171 |
