ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109096
Темы:    [ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ]
[ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек пространства, есть плоскость, перпендикулярная отрезку с концами в этих точках и проходящая через середину этого отрезка.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть плоскость α перпендикулярна прямой AB и проходит через середину M отрезка AB . Если P – произвольная точка этой плоскости, отличная от M , то AB PM , поэтому PM – высота и мединана треугольника APB . Значит, треугольник APB равнобедренный. Следовательно, PA = PB . Пусть теперь P – произвольная точка пространства, равноудалённая от точек A и B . Если P отлична от M , то медиана равнобедренного треугольника APB является его высотой. Поэтому PM AB . Если бы при этом точка P не лежала в плоскости α , то плоскости α и APB пересекались бы по прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой AB , а значит, в плоскости APB через точку M проходили бы две прямые, перпендикулярные AB , что невозможно.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8171

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .