ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109158
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Делится ли многочлен  1 + x4 + x8 + ... + x4k  на многочлен  1 + x² + x4 + ... + x2k?


Решение

  Если  k + 1  нечётно, числитель делится на знаменатель, а если
k + 1 = 2n,  при делении получается остаток 2, поскольку  x²(k+1) – 1 = x4n – 1  делится на  x4 – 1,  а значит, и на  x² + 1.


Ответ

При чётном k делится, а при нечётном – нет.

Замечания

Ср. с задачей 60973.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1963
Номер 13
Название 13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название Задача 11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .