Задача 109238

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с углом ϕ при вершине. Все боковые рёбра пирамиды равны a . Найдите объём пирамиды, если радиус окружности, вписанной в треугольник основания, равен r .

Решение

Пусть O – центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник ABC с углом ϕ при вершине A (рис.2). Точка O лежит на биссектрисе AM треугольника ABC , а т.к. треугольник ABC равнобедренный, то AM – его высота и медиана. Тогда

BM = OM ctg OBM = r ctg = r ctg (45^o- ),

AC = AB = = .
Пусть R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC . Тогда
R = = = = .
Так как боковые ребра данной пирамиды ABCD равны, то её высота DQ проходит через центр Q окружности, описанной около треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника AQD находим, что
DQ = = = =

= .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DQ = · AB2· sin ϕ · DQ =

= · · =

=.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7936