Условие
В треугольной пирамиде
ABCD найдите угол между прямыми
AD и
BC , если
AB = AC и
DAB = DAC .
Решение
Пусть
DO – высота пирамиды,
точки
M и
N – основания перпендикуляров, опущенных из точки
O на
прямые
AB и
AC соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах
DM
AB и
DN AC . Прямоугольные треугольники
DAM и
DAN равны по
гипотенузе и острому углу, поэтому
OM = ON , т.е. точка
O
равноудалена от сторон угла
CAB . Значит, точка
O лежит на
биссектрисе
AK равнобедренного треугольника
ABC (или на её
продолжении). Так как
AK BC и
AK – ортогональная
проекция наклонной
AD на плоскость основания
ABC , то по теореме о
трёх перпендикулярах
AD BC . Следовательно, угол между прямыми
AD
и
BC равен
90
o .
Ответ
90
o .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7939 |
