Задача 109343

Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Цилиндр ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Две противоположные вершины единичного куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные вершины расположены на боковой поверхности цилиндра. Найдите высоту и радиус основания цилиндра.

Решение

Пусть противоположные вершины A и C1 куба ABCDA1B1C1D1 совпадают с центрами оснований цилиндра с высотой h и радиусом основания r , а остальные вершины куба расположены на боковой поверхности цилиндра (рис.1). Тогда h = AC1 = . При ортогональном проектировании данных куба и цилиндра на плоскость, перпендикулярную прямой AC1 , боковая поверхность перейдёт в окружность радиуса r , точки A и C1 перейдут в центр O этой окружности, точки B , C , D , A1 , B1 и D1 – соответственно в точки B' , C' , D' , A1' , B1' и D1' , лежащие на окружности, причём B'C'D'D1'A1'B1' – правильный шестиугольник с центром O . Радиус основания цилиндра равен стороне этого шестиугольника. Обозначим A1AC1 = α . Из прямоугольного треугольника A1AC1 находим, что

sin α = sin A1AC1 = = = .
Так как прямая AC1 перпендикулярна плоскости основания цилиндра, то угол между прямой AA1 и плоскостью основания цилиндра равен 90^o - α . Следовательно,
r = OA1' = AA1 cos (90^o- α) = AA1 sin α = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8402