ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109437
Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC . Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABM , в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM . Может ли отрезок AM оказаться медианой треугольника ABC ?

Решение

Пусть АМ = m – медиана треугольника ABC , p1 и r – полупериметр и радиус окружности, вписанной в треугольник ACM , а p2 и 2r – полупериметр и радиус окружности, вписанной в треугольник AВM (см. рис. 11.3).
Площади треугольников ABM и AСM равны, следовательно p1· r = p2· 2r , то есть p1 = 2p2 . Получим: =m+AB+BM . Так как BM = CM , то АС = m + 2AB + CM > m + CM . Это противоречит неравенству треугольника для ΔAMC : АС < m + CM .

Ответ

нет, не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2007
класс
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .