ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109438
Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y) . Найдите f(2007) , если f() = 1 .

Решение

При y = 1 данное равенство примет вид: f(x) = f(x) + f(1) , следовательно, f(1) = 0 . Пусть x = 2007 , y = , тогда f(1) = f(2007) + f() , то есть f(2007) = - f() = -1 . Отметим, что простейшей из функций, удовлетворяющих условию, является логарифмическая функция, которую можно задать формулой f(t)=log 1/2007t . Но эта функция – далеко не единственная из возможных, так как не задано условие непрерывности функции f (либо ее монотонности).

Ответ

-1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2007
класс
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .