ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109457
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.
Можно ли подобрать такие числа a, b и c, чтобы это были графики трёхчленов  ax² + bx + c,  bx² + cx + a  и  cx² + ax + b?


Решение 1

Пусть это удалось. У двух парабол "ветви" направлены вверх, а у одной – вниз, поэтому у двух трёхчленов старший коэффициент положительный, а у одного – отрицательный. Следовательно, среди чисел a, b и c должны быть два положительных и одно отрицательное. С другой стороны, две из парабол пересекают ось Оy в точках с отрицательными ординатами, а третья – в точке с положительной ординатой, поэтому у двух трёхчленов свободный член отрицательный, а у одного – положительный. Следовательно, среди чисел a, b и c должны быть два отрицательных и одно положительное. Противоречие.


Решение 2

Такие параболы имеют общую точку  (1, a + b + c).  Но на рисунке такой точки нет.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2007
класс
Класс 9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .