Задача 109489

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Авторы: Дориченко С.А., Женодаров Р.Г., Токарев С.И.

На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M и N так, что прямая KM параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN – двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?

Решение 1

Пусть катеты первого треугольника равны a и b, а гипотенуза – c. Из рисунка видно, что удвоенная плошадь треугольника, отсекаемого отрезком MN, равна половине площади квадрата.

Решение 2

Пусть точки K, L, M, N лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD. Диаметр вневписанной окружности прямоугольного треугольника BKL, касающейся гипотенузы KL, равен его периметру (см. задачу 52553), поэтому эта окружность одновременно вписана в квадрат и её центр O – центр квадрата. Следовательно, высота треугольника OKL, опущенная на сторону KL, равна ½, а  S_OKL = ^c/₂.  Пусть P, Q, R, S – середины отрезков AB, BC, KM, LN, а T – точка пересечения отрезков KM и LN. Нам достаточно доказать, что  S_ABCMTN = ½,  т.е. что  S_BQRTSP = ^c/₂  (поскольку  S_APSN = ^a/₂,  S_CQRM = ^b/₂).  Но это так и есть:
S_BQRTSP = 2S_KLT + 2S_KTP + 2S_LTQ = 2(S_KLT + S_KTO + S_LTO) = 2S_KLO = ½.

Ответ

¼.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	10
задача
Номер	1
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4691
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	28
Дата	2006/2007
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2