ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109508
Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.

Решение



Параллельным переносом одного из двух данных треугольников совместим вершины C и C' их прямых углов, а гомотетией того же треугольника с центром в точке C совместим их медианы 112. Тогда окружность с центром E и радиусом CE описана около обоих треугольников, причем угол между их гипотенузами – центральный и, значит, вдвое больше соответствующего вписанного угла, каковым является один из углов между катетами (на 112 это углы: AEA'=2 ACA' ). Для доказательства требуемого утверждения остается заметить, что проделанные выше преобразования одного из треугольников не меняют углов между прямыми.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 93.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .