ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109523
Темы:    [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Перлин А.

Квадратный трёхчлен  f(x) разрешается заменить на один из трёхчленов      или     Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена  x² + 4x + 3  получить трёхчлен  x² + 10x + 9?


Решение 1

Пусть  f(x) = ax² + bx + c.  Заметим, что при допустимых операциях дискриминант трёхчлена не меняется: при первой операции  f(x) меняется на трёхчлен  (a + b + c)x² + (b + 2a)x + a  с дискриминантом  (b + 2a)² – 4a(a + b + с) = b² + 4ab + 4a2 – 4a² – 4ab – 4ac = b² – 4ac,  а при второй – на трёхчлен
cx² + (b – 2c)x + (a – b + c)  с дискриминантом  (b – 2c)² – 4c(a – b + c) = b² – 4bc + 4c² – 4ac + 4bc – 4c² = b² – 4ac.  Но у трёхчлена  x² + 4x + 3  дискриминант равен  16 – 4·3 = 4,  а у трёхчлена  x² + 10x + 9  он равен  100 – 4·9 = 64;  следовательно, получить из первого трёхчлена второй невозможно.


Решение 2

Положим   .   Тогда  φ = 1/φ + 1 = 1/φ–1,  φ – 1 = 1/φ.  Поэтому при выполнении разрешённых операций значение трёхчлена в точке φ умножается или делится на φ². Осталось заметить, что такими преобразованиями  φ² + 4φ + 3 = 5φ + 4  не переводится в  φ² + 10φ + 9 = 11φ + 10,  поскольку отношение этих чисел меньше φ².


Решение 3

Нетрудно проверить, что данные преобразования взаимно обратны. Поэтому при положительном ответе на вопрос задачи один из данных трёхчленов можно было бы получить из другого применяя только первое преобразование (возможно, несколько раз). Но, как видно из решения 1, применяя первое преобразование к трёхчлену с натуральными коэффициентами мы будем получать снова трёхчлен с натуральными коэффициентами, а старший коэффициент будет возрастать. Поэтому снова получить приведённый трёхчлен не удастся.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 93.5.10.3
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 93.5.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .