Задача 109534

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Вавилов В.

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

Решение

Для каждой пирамиды с площадью основания S_i и высотой H_i , i=1 , 2, 7, рассмотрим функцию S_i(x) , выражающую зависимость площади сечения пирамиды горизонтальной плоскостью, расположенной на расстоянии x от поверхности стола. Имеем:

S_i(x)=S_i (1-)², 0 x H_i.
Графики любых двух таких функций (рис.) могут либо иметь одну общую точку, либо совпадать, так как уравнение
S_i (1-)² = S_j (1-)²
по условию задачи при H_i<H_j имеет корень на отрезке [0,H_i] , а второй корень принадлежит отрезку [H_i,H_j] (поскольку при x=H_i левая часть меньше правой, а при x=H_j – наоборот) и не попадает в область определения функции S_i(x) (в случае H_i=H_j они имеют либо один корень x=H_i=H_j , либо совпадают). Рассмотрим два графика, которые имеют ровно одну общую точку с абсциссой x₀ (если таких не найдется, то все семь графиков совпадают, и можно выбрать любую горизонтальную секущую плоскость). Тогда из условия задачи следует, что любой другой график также проходит через эту точку. Поэтому плоскость, проходящая на расстоянии x₀ от стола, удовлетворяет требованию задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	93.4.11.6