|
|
 |
Условие
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Решение
По условию b1 отлично от 0 и 5, поэтому b2 есть одно из чисел 2, 4, 6 или 8. Значит, последовательность b2, b3, ... является периодической с периодом 4: ..., 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ...
Поэтому an+4 = an + (2 + 4 + 8 + 6) при n > 1 и an+4s = an + 20s для s > 1. Из двух членов последовательности an = 10m + 2 и an+1 = 10m + 4 хотя бы одно число делится на 4, пусть ak = 4l. Тогда ak + 4s = 4(l + 5s), и осталось доказать, что среди
чисел вида l + 5s бесконечно много степеней двойки.
Это следует из того, что остатки от деления на 5 степеней двойки образуют периодическую последовательность: 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, ... и, следовательно, бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и
число l.
