ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109560
Темы:    [ Раскраски ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Задачи с ограничениями ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.


Решение

  Будем для краткости называть отрезками стороны и диагонали (6n+1)-угольника M, а треугольниками – равнобедренные треугольники с вершинами в вершинах M. Заметим, что каждый отрезок принадлежит ровно трём различным треугольникам (этот факт верен только при условии, что число сторон многоугольника имеет при делении на 6 остаток 1 или 5). Обозначим через NC, NCK и NK число отрезков, концы которых окрашены в синий, синий и красный, красный цвета соответственно, а через NCCC, NCCK, NCKK и NKKK – число треугольников, у которых в синий цвет окрашены 3, 2, 1 и 0 вершин соответственно.
  Тогда   NC = 3NCCC + NCCK,   так как каждый отрезок принадлежит трём треугольникам, в треугольниках с тремя синими вершинами три стороны с двумя синими концами, в треугольнике с двумя синими вершинами одна такая сторона, а в треугольниках с меньшим числом синих вершин таких сторон нет.
  Аналогично доказываются равенства   3NKC = 2NCCK + 2NCKK   и   3NK = NCKK + 3NKKK.
  Из этих равенств следует, что   NCCC + NKKK = NK + NC – ½ NKC = ½ (K(K – 1) + C(C – 1) – KC),   где  C = 6n + 1 – K  – число синих вершин. Это и доказывает утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 94.5.10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .