ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109604
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Решение



Пусть AnA1 – самая короткая (одна из них) сторона многоугольника A1A2.. An с равными углами. Тогда AnA1 A1A2 и AnA1 An-1An . Предположим, что многоугольник не имеет других, кроме AnA1 сторон, не превосходящих соседних с ними. Пусть AmAm+1 – самая длинная (одна из них) сторона многоугольника. Тогда AnA1<A1A2<A2A3<..<AmAm+1 , так как если Ak-1Ak AkAk+1 , то наименьшая среди сторон AkAk+1 , Am-1Am не длиннее соседних с ней. Аналогично AnA1<An-1An<..<Am+1Am+2<AmAm+1 . Отложим векторы , i=1 , n от одной точки: = 1041. Тогда +...+=+...+= , и, следовательно, сумма проекций , i=1 , n , этих векторов на любую прямую l1 равна . Возьмем в качестве l1 прямую, перпендикулярную биссектрисе l угла B1OBm . Из условия следует, что B1OB2=..= Bm-1OBm= , поэтому пары лучей [OB1) и [OBm) , [OB2) и [OBm-1) , симметричны относительно прямой l . Для нечетного m , m=2s-1 , без пары останется луч [OBs) , лежащий на l . Соответственно, векторы i=1 , m , разобьются на пары противоположно направленных векторов, причем OC1<OCm , OC2<OCm-1 , (если m=2s+1 , то = ). Таким образом, +...+=1 , где 1 – направленный вверх вектор. Аналогично, ++...+=2 , где 2 сонаправлен с 1 и хотя бы один из векторов 1 и 2 ненулевой. Но тогда +...+=1+2 . Противоречие, следовательно найдется отличная от AnA1 сторона многоугольника, не превосходящая соседние с ней стороны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 95.5.10.4
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 95.5.11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .