Задача 109611

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Токарев С.И.

Можно ли в клетки таблицы 9×9 записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3×3 была одна и та же?

Решение

  Таблица T, изображённая на рисунке слева, содержит по девять раз каждое из чисел 1, 2, ..., 9 и обладает тем свойством, что сумма чисел в каждом квадрате 3×3 равна 36.

  Ясно, что таблица Q, получаемая из неё поворотом на 90° (рис. справа), также обладает указанными свойствами. Заметим теперь, что одинаковым числам таблицы T соответствуют различные числа таблицы Q, поэтому существует взаимно однозначное соответствие между клетками таблицы 9×9 и парами  (a, b),  где  a, b = 1, 2, ..., 9.  Если теперь взять новую таблицу 9×9 и в её клетке, соответствующей паре  (a, b),  записать число  9a + b – 9,  то каждое из чисел от 1 до 81 встретится в такой таблице ровно один раз, а сумма чисел в каждом квадрате 3×3 будет одна и та же (она равна
9·45 + 45 – 9·9 = 369,  см. рис.).

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	95.5.9.4