ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109612
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Периодические и непериодические дроби ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.


Решение

Заметим, что  459 + 495 = 954,  а 1995 делится на 3. Поэтому искомыми будут, например, числа 459459...459 (665 троек), 495495...495 (665 троек) и их сумма.

Замечания

1. Отметим, что 459, 495 и 954 – периоды десятичных разложений дробей 51/111, 55/111 и их суммы 106/111.

2. Дроби с одинаковыми знаменателями разбиваются на группы дробей с одинаковыми наборами цифр в периоде:  2/13 = 0,(153846),  5/13 = 0,(384615),
7/13 = 0,(538461),  (таким образом,  153846 + 384615 = 538461);  1/13 = 0,(076923),  3/13 = 0,(230769)  и т.п. Добавляя к периодам из одной группы необходимое числа девяток, можно получить другие тройки искомых похожих чисел. Например:  153849...96 + 384619...95 = 538469...91.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 95.5.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .