ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109617
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Монотонность, ограниченность ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.


Решение

  Пусть n – число путников, обозначенных буквами P1, P2, ..., Pn. Рассмотрим величину Vij – скорость сближения Pi и Pj (для произвольных  1 ≤ i, j ≤ n;  если  i = j,  то  Vij = 0).  Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной (путники удаляются друг от друга). Заметим, что в течение всего рассматриваемого периода времени Vij не возрастает (а уменьшиться может только один раз – в результате встречи Pi и Pj или обгона одного из них другим). По условию в конце рассмотренного периода времени  
  Поскольку  Vij = Vji  (для любых  1 ≤ i < j ≤ n),  то     Отсюда следует, что найдётся такой номер j, что  
  Так как все Vij не возрастали в течение всего периода времени, то и последнее неравенство выполнялось в течение всего периода времени, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 96.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .