ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109638
Темы:    [ Покрытия ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли прямоугольник 5×7 покрыть уголками из трех клеток (т.е. фигурками, которые получаются из квадрата 2×2 удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоев так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?

Решение



Покрасим клетки прямоугольника в черный и белый цвета так, как показано на рисунке. В черные клетки запишем число -2 , а в белые – число 1. Заметим, что сумма чисел в клетках, покрываемых любым уголком, неотрицательна, следовательно, если нам удалось покрыть прямоугольник в k слоев, удовлетворяющих условию, то сумма S чисел по всем клеткам, покрытым уголками, неотрицательна. Но если сумма всех чисел в прямоугольнике равна s , то S=ks=k(-2· 12+23· 1)=-k>0 . Получим противоречие.
Аналогично доказывается, что покрытия, удовлетворяющего условию задачи не существует, если прямоугольник имеет размеры 3×(2n+1) и 5×5. Прямоугольник 2×3 можно покрыть в один слой двумя уголками, прямоугольник 5×9 – в один слой пятнадцатью уголками, квадрат 2×2 – в три слоя четырьмя уголками. Комбинируя эти три покрытия, нетрудно доказать, что все остальные прямоугольники m×n ( m,n2 ) можно покрыть уголками, удовлетворяя условию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 96.5.9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .