|
|
 |
Условие
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида x² + px + q, где p, q – целые, 1 ≤ p ≤ 1997, 1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Решение
Пусть – m ≤ – n – целые корни трёхчлена x² + px + q. Тогда m + n = p, mn = q, следовательно, m, n > 0, 0 < mn ≤ 1997, n ≤ m ≤ 1997. Рассмотрим трёхчлен x² + nx + mn. Его коэффициенты – целые числа от 1 до 1997, и оно не имеет корней, так как D = n² – 4mn = n(n – 4m) < 0. Итак, каждому трёхчлену с целыми корнями мы поставили в соответствие трёхчлен, не имеющий корней; при этом разным трёхчленам сопоставлены разные. Кроме того, трёхчлены вида x² + px + q, где p чётно, q нечётно и D < 0, не представимы в виде x² + nx + mn. Значит, трёхчленов, не имеющих корней, больше.
Ответ
Больше трёхчленов, не имеющих корней.
