Задача 109688

Темы:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Дольников В.Л.

Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).

Решение

Пусть каждый из многоугольников A , B , C можно отделить от двух других. Докажем, что их нельзя пересечь одной прямой. Предположим противное: X , Y , Z – соответственно точки многоугольников A , B , C , лежащие на одной прямой. Тогда одна из точек, например Y , лежит на прямой между X и Z . Следовательно, B нельзя отделить от A и C , так как в противном случае точку Y , лежащую между двумя другими X и Z , нужно отделить от этих точек одной прямой, что невозможно.
В обратную сторону утверждение можно доказать двумя способами. Пусть многоугольники нельзя пересечь одной прямой.

1. Рассмотрим треугольники с вершинами X A , Y B , Z C . Пусть из всех таких треугольников наименьшую высоту из вершины Y имеет треугольник X₀Y₀Z₀ (кстати, почему треугольник с наименьшей высотой существует?). Тогда прямая, перпендикулярная высоте и проходящая через середину высоты, не пересекает многоугольники B , A и C , так как, в противном случае, существовал бы треугольник с меньшей высотой, выходящей из Y₀ .
2. Рассмотрим две внешние касательные к многоугольникам A и C . Тогда они не могут пересекать B . Если мы сдвинем немного ту, которая лежит ближе к B , в направлении к многоугольнику B , то получим прямую, отделяющую B от A и C .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	99.5.11.6