ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109719
Темы:    [ Необычные конструкции ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M . Какое наибольшее число элементов может быть в M ?

Решение

Пример множества из 7 элементов: { -3,-2,-1,0,1,2,3} .
Докажем, что при m 8 множество из m чисел A={ a1,a2,..,am} требуемым свойством не обладает. Не ограничивая общности, можно считать, что a1>a2>a3>.. >am и a4>0 (ясно, что умножение на -1 наше свойство не меняет). Тогда a1+a2>a1+a3>a1+a4>a1 , т.е. ни одна из сумм a1+a2 , a1+a3 и a1+a4 множеству A не принадлежит. Кроме того, суммы a2+a3 и a2+a4 не могут одновременно принадлежать A , поскольку a2+a3>a2 , a2+a4>a2 и a2+a3 a2+a4 . Получается, что по крайней мере для одной из троек (a1,a2,a3) и (a1,a2,a4) сумма любых двух ее элементов множеству A не принадлежит.

Ответ

7.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 00.5.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .