ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109723
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.


Решение

Общий корень x1 первых двух уравнений удовлетворяет уравнению  (a – b)x1 + (1 – c) = 0,  то есть  x1 = a–b/c–1.  Аналогично общий корень x2 последних двух уравнений равен  c–1/a–b.  Поскольку  x1x2 = 1,  то  x2 – корень первого уравнения, то есть – общий корень уравнений  x² + ax + 1 = 0  и  x² + x + a = 0.  Отсюда  (a – 1)(x2 – 1) = 0.  Но при  a = 1  эти уравнения не имеют действительных корней. Значит,  x2 = 1,  тогда  a = – 2,  b + c = – 1.


Ответ

–3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 00.5.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .