ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109745
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?


Решение

  Разобьём числа от n² до  (n + 1)² – 1  на две группы  An = {n², n² + 1, ..., n² + n}  и  Bn = {n² + n + 1, n² + n + 2, ..., n² + 2n}.
  Для чисел группы An ближайшим квадратом является n², для Bn ближайшим является  (n + 1)²  – квадрат другой чётности.
  Суммы чисел в группах An и Bn обозначим S(An) и S(Bn) соответственно. Из равенства
S(Bn) – S(An) = ((n² + n + 1) – (n² + 1)) + ((n² + n + 2) – (n² + 2)) + ... + ((n² + 2n) – (n² + n)) – n² = n·n – n² = 0  следует, что суммы чисел в группах An и Bn равны.
  Осталось заметить, что все множество чисел от 1 до 999999 разбивается на непересекающиеся пары A1 и B1, A2 и B2, A999 и B999.


Ответ

Эти суммы одинаковы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 01.5.9.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 01.5.10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .