Задача 109754

Темы:    [ Показательные функции и логарифмы ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство

2| sinⁿ x- cosⁿ x| 3| sin^m x- cos^m x|;

Решение

Первое решение. Достаточно доказать это неравенство при 0<x< (при x= оно очевидно, при <x< получается заменой y=-x ). При k2 имеем

cos^kx- sin^kx=( cos^kx- sin^kx)( sin²x+ cos²x)= = ( cos^k+2x- sin^k+2x)+ sin²x cos²x( cos^k-2x- sin^k-2x) cos^k+2x- sin^k+2x.
Поэтому неравенство сводится к случаю n=m+1 , за исключением n=3 . Кроме того, 1ex

при n k>1 . Действительно, приведя к общему знаменателю, получаем неравенство
sin^k-1x cos^k-1x( cos^n-kx- sin^n-kx)( cos x- sin x)0,
которое очевидно. Поэтому неравенство сводится к случаям n=3 , m=1 и n=2 , m=1 . Докажем их:
cos3x- sin3x=( cos x- sin x)(1+ sin x cos x) ( cos x- sin x),
поскольку cos x sin x= sin2x ;
cos²x- sin²x=( cos x- sin x)( cos x+ sin x) ( cos x- sin x),
ибо sin x+ cos x=, sin(x+) .
Второе решение. Опять же, неравенство достаточно доказать для 0<x< . Рассмотрим f(y)= cos^yx- sin^yx , где 0<x< , y0 . Имеем: f(0)=0 , f(y)>0 при y>0 , f(y)0 при y . Далее,
f'(y)= cos^yxln cos x- sin^yln sin x= cos^yx(ln cos x- tg^yxln sin x),
поэтому f'(y) имеет единственный корень при y>0 , так как функция g(y)= tg^yx монотонна. Из f(2)=f(2)( cos²x+ sin²x)=f(4) следует, что f'(2)>0 , f'(4)<0 . Отсюда, при n>m3 получаем неравенство
| sinⁿx- cosⁿx|| sin^mx- cos^mx|.
Если же m2 , то из соотношений f(1) f(2) f(3) f(n) при n>3 видно, что достаточно доказать неравенство 3f(1) 2f(3) , которое следует из sin x cos x= , поскольку f(3)=f(1)(1+ sin x cos x)f(1) .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	02.5.11.3