ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109754
Темы:    [ Показательные функции и логарифмы ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство

2| sinn x- cosn x| 3| sinm x- cosm x|;


Решение


Первое решение.
Достаточно доказать это неравенство при 0<x< (при x= оно очевидно, при <x< получается заменой y=-x ). При k2 имеем

coskx- sinkx=( coskx- sinkx)( sin2x+ cos2x)= = ( cosk+2x- sink+2x)+ sin2x cos2x( cosk-2x- sink-2x) cosk+2x- sink+2x.

Поэтому неравенство сводится к случаю n=m+1 , за исключением n=3 . Кроме того, 1ex

при n k>1 . Действительно, приведя к общему знаменателю, получаем неравенство
sink-1x cosk-1x( cosn-kx- sinn-kx)( cos x- sin x)0,

которое очевидно. Поэтому неравенство сводится к случаям n=3 , m=1 и n=2 , m=1 . Докажем их:
cos3x- sin3x=( cos x- sin x)(1+ sin x cos x) ( cos x- sin x),

поскольку cos x sin x= sin2x ;
cos2x- sin2x=( cos x- sin x)( cos x+ sin x) ( cos x- sin x),

ибо sin x+ cos x=, sin(x+) .
Второе решение.
Опять же, неравенство достаточно доказать для 0<x< . Рассмотрим f(y)= cosyx- sinyx , где 0<x< , y0 . Имеем: f(0)=0 , f(y)>0 при y>0 , f(y)0 при y . Далее,
f'(y)= cosyxln cos x- sinyln sin x= cosyx(ln cos x- tgyxln sin x),

поэтому f'(y) имеет единственный корень при y>0 , так как функция g(y)= tgyx монотонна. Из f(2)=f(2)( cos2x+ sin2x)=f(4) следует, что f'(2)>0 , f'(4)<0 . Отсюда, при n>m3 получаем неравенство
| sinnx- cosnx|| sinmx- cosmx|.

Если же m2 , то из соотношений f(1) f(2) f(3) f(n) при n>3 видно, что достаточно доказать неравенство 3f(1) 2f(3) , которое следует из sin x cos x= , поскольку f(3)=f(1)(1+ sin x cos x)f(1) .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 02.5.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .