ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109768
Темы:    [ Системы точек ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Лифшиц Ю.

На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.

Решение

Рассмотрим три синих точки A , B , C и не синюю D . Тогда SABC SABD+SACD+SBCD . Просуммируем это неравенство по всем таким четверкам. При этом каждый синий треугольник считается 12 раз, а каждый сине-сине-несиний – 4 раза. Таким образом, сумма площадей синих треугольников хотя бы в 3 раза меньше суммы площадей сине-сине-несиних. Итого: сумма площадей синих треугольников составляет не более четверти сумм площадей треугольников, хотя бы две вершины которых – синие. Аналогичное неравенство получим для двух других цветов. Так как рассмотренные группы не пересекаются, то и сумма площадей одноцветных треугольников составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 02.5.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .