|
|
 |
Условие
На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)
Решение 1
Рассмотрим семь пар ладей, стоящих в соседних столбцах. Разности их координат по вертикали лежат на отрезке [1, 7], поэтому либо две из них совпадают (и тогда расстояния в соответствующих парах тоже совпадают), либо среди них есть все числа от 1 до 7. В частности, есть две ладьи, отстоящие друг от друга на 2 по вертикали и на 1 по горизонтали (пара A). Аналогично либо найдутся две пары в соседних строках с равным расстоянием, либо есть две ладьи, отстоящие друг от друга на 1 по вертикали и на 2 по горизонтали (пара B). Тогда расстояния в парах A и B совпадают, а сами эти пары различны.
Решение 2
Квадраты расстояний между ладьями могут принимать значения от 1² + 1² до 7² + 7². Всего таких различных чисел 7·8 : 2 – 1 = 27, поскольку
1² + 7² = 5² + 5². А пар ладей больше: 8·7 : 2 = 28. Значит, какие-то два расстояния совпадают.
