ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109780
Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Теория множеств (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Решение

Возьмем четыре различных числа a,b,c,d M . Из рациональности чисел d2+ab и d2+bc следует рациональность bc-ab , откуда a2+ab=a2+bc-(bc-ab) . Аналогично, b2+ab . Поэтому для произвольных различных a,b M число q== . Тогда a=qb a2+ab=b2(q2+q)=l , b== , m,k . Значит, число b , где n=mk , рационально. Тогда c=· b для любого c M .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2003
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 03.5.10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .