Задача 109793
|
|
 |
Условие
Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных m, n > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике m×n клеток делилась на m + n?
Решение
Предположим, что это удалось. Рассмотрим любой квадрат A размером 200×200. Пусть он будет угловым квадратом некоторого квадрата B размером 200t×200t, где t – некоторое натуральное число, на которое не делится сумма чисел в квадрате
A.
Разобьём фигуру B \ A на прямоугольники размером
200×200(t–1). В каждом из этих прямоугольников сумма чисел делится на t, в квадрате B – тоже, значит,
и в квадрате A сумма чисел делится на t, что невозможно в силу выбора t.
Ответ
Нельзя.
