ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109824
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  n+1/4.


Решение

Пусть в верхней строке стоят числа a1, a2, ..., an. Переставив столбцы, можно считать, что  a1a2 ≤ ... ≤ an.  Тогда в нижней строке стоят соответственно b1 = 1 – a1b2 = 1 – a2,  ...,  bn = 1 – an;  ясно, что  b1b2 ≥ ... ≥ bn.  Если  a1 + a2 + ... + ann+1/4,  то вычеркнем все числа нижней строки. Иначе найдём такой минимальный номер k, что  a1 + a2 + ... + an > n+1/4,  вычеркнем в верхней строке числа ak, ak+1, ..., an, а в нижней – b1, b2, ..., bk–1. По выбору k  a1 + ... + ak–1n+1/4. Поскольку     то и

   

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 05.5.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .