ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109874
Темы:    [ Раскраски ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).
Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?


Решение

  Допустим, такая раскраска возможна.

  Первый способ. Рассмотрим отрезки какого-либо одного цвета, например, красного. Общее число треугольников, одна из сторон которого красная, не меньше числа пар из 11 остальных цветов, то есть 55. Так как каждый красный отрезок служит стороной для десяти треугольников, то число красных отрезков не меньше шести. Но тогда и число отрезков любого другого цвета не меньше шести, а общее число отрезков не меньше  12·6 = 72.  Однако число всех сторон и диагоналей в 12-угольнике равно  12·11 : 2 = 66 < 72.  Противоречие.

Второй способ. Поскольку число всех возможных треугольников    равно числу троек цветов, то каждый треугольник раскрашен "правильно" и каждый "вид" раскраски реализуется ровно один раз. Поэтому треугольников с красной стороной ровно 55. Но каждый красный отрезок служит стороной десяти треугольников, а 55 на 10 не делится. Противоречие.


Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 95.4.9.4
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 95.4.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .