ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109877
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.).

Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.


Решение

Общее количество узлов равно  2·(6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 91.  Каждый узел, за исключением центрального, принадлежит одной из 11 концентрических окружностей с центром в центре шестиугольника (см. рис.).

Предположим, что не существует пяти отмеченных узлов, лежащих на одной окружности. Тогда общее количество отмеченных узлов не больше
11·4 + 1 = 45,  то есть не более половины. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 95.4.9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .