Задача 109879
|
|
 |
Условие
Назовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?Решение
Через каждую точку A системы проходит медиана. Действительно, пусть слева от прямой l , проходящей через точку A , меньше точек системы, чем справа. При вращении прямой вокруг точки A обязательно в некоторый момент слева и справа окажется поровну точек системы, так как при повороте на 180o слева от прямой будет больше точек системы, чем справа.На каждой медиане лежит ровно две точки из данной системы, поэтому медиан не может быть меньше n . Пример системы, где медиан ровно n , дают вершины выпуклого 2n-угольника.
