ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109880
Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Покрытия ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.

Решение

Предположим противное, что точка O треугольника не покрыта кругами. Тогда OA > , OB > , OC > и один из углов AOB , BOC , AOC не меньше 120o . Пусть это угол AOC . Тогда, по теореме косинусов, имеем

AC2 = OA2 + OC2 - 2OA · OC · cos α .



Но - cos α cos 60o , так как α 120o и, следовательно,
AC2 = OA2 + OC2 - 2OA · OC · cos α OA2 + OC2 + OA · OC > + + = 1.

Следовательно AC > 1 , и полученное противоречие доказывает утверждение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 96.4.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .