ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109935
Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Инварианты ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?


Решение 1

  Занумеруем карты сверху вниз по порядку. В верхней колоде номера от 1 до 36, в нижней – от 37 до 72. Пусть i-я карта верхней колоды совпадает с ki-й картой нижней колоды  (i = 1, 2, ..., 36).  Между ними лежит  ki – i – 1  карта, поэтому искомая сумма  S = (k1 – 1 – 1) + (k2 – 2 – 1) + ... + (k36 – 36 – 1).  Переставив слагаемые k1, k2, ..., k36 по возрастанию, мы сумму не изменим. Значит,  S = (37 – 1 – 1) + (38 – 2 – 1) + ... + (72 – 36 – 1) = 36·35 = 1260.


Решение 2

  Рассмотрим самую нижнюю карту нижней колоды и такую же карту верхней колоды, пусть, например, это короли треф. Предположим, что в верхней колоде король треф лежит на семёрке бубен. Заметим, что если мы в верхней колоде поменяем местами короля треф и семёрку бубен, то количество карт, лежащих между королями треф, на одну уменьшится, а количество карт, лежащих между семёрками бубен, на одну увеличится. Значит, искомая сумма от такой перестановки не изменится. Рассуждая аналогично, можно постепенно менять местами короля треф из верхней колоды с картами, на которых он лежит, до тех пор, пока король треф не станет самой нижней картой в верхней колоде. Далее рассмотрим вторую снизу карту нижней колоды и повторим описанную процедуру с такой же картой из верхней колоды, и так далее.
  Так, постепенно меняя местами соседние карты верхней колоды, можно, не изменяя искомой суммы, расположить карты верхней колоды в том же порядке, что и в нижней. Тогда между каждыми двумя одинаковыми картами будет лежать ровно 35 карт, поэтому искомая сумма равна  35·36 = 1260.


Решение 3

  Рассмотрим по отдельности сколько раз была подсчитана каждая карта в верхней и в нижней колоде. В верхней колоде самая верхняя карта не была подсчитана ни разу, так как она не находится между какими-либо картами. Вторая сверху карта была подсчитана один раз, так находится между одной парой одинаковых карт: верхней картой верхней колоды и такой же картой нижней колоды. Следующая карта сверху подсчитана два раза, и так далее, то есть n-я сверху карта верхней колоды была подсчитана  n – 1  раз, так как находится между  n – 1  парой одинаковых карт.
  Аналогичные рассуждения справедливы и для карт нижней колоды, если "двигаться" снизу вверх: самая нижняя карта не подсчитана ни разу, лежащая на ней – один раз, ..., k-я карта снизу подсчитана  k – 1  раз.
  Таким образом, искомая сумма равна  (0 + 1 + 2 + ... + 35)·2 = 1260.


Ответ

1260.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.4.11.1
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 7
задача
Номер 7.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .