ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109945
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4, 21998 . Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?

Решение

Первым ходом начинающий уменьшает на единицу числа в первой и четырех последних ячейках. В дальнейшем на каждый ход второго он уменьшает на единицу числа в тех же ячейках, что и второй. Все числа в ячейках с первой по 1995-ю четные после ответных ходов первого, и поэтому ни одно из них первый не может сделать отрицательным.

Первый программист может сломать компьютер лишь в том случае, если он сделает отрицательным одно из чисел в четырех последних ячейках. Для этого должно быть сделано более 21995 ходов, не ломающих компьютер. С другой стороны, на каждом ходу уменьшается пять чисел, т.е. хотя бы одно из чисел в ячейках с 1 по 1995. Первоначальная сумма чисел в этих ячейках 1+2+...+21994=21995-1 . Поэтому могло быть сделано не более 21995-1 ходов, не ломающих компьютер.

Значит, компьютер испортит второй программист.

Ответ

Начинающий.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 98.4.10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .