ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109952
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Признаки делимости (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?


Решение

  Все цифры интересного числа различны, поэтому их сумма равна 45, и число делится на 9. Значит, оно делится на 99999.
  Рассмотрим интересное число  X = a9...a0  = 105·a9...a5 + a4...a0  = 99999·a9...a5 + a9...a5  +  a4...a0.
  Мы видим, что сумма  a9...a5 + a4...a0  делится на 99999. Но эта сумма меньше, чем 2·99999, поэтому она равна 99999. Значит,
a0 + a5 = a1 + a6 = ... = a4 + a9 = 9.
  Очевидно, верно и обратное: число с такими (различными) цифрами будет интересным.
  Итак, последние пять цифр интересного числа полностью определяются пятью его первыми цифрами, а первые пять цифр нужно выбирать так, чтобы никакие две из них не давали в сумме 9 и a9 не равнялось нулю.
  Следовательно, цифру a9 можно выбрать девятью способами, цифру a8 – восемью (нельзя выбирать a9 и  9 – a9),  после этого a7 – шестью способами, a6 – четырьмя и a5 – двумя. Отсюда получаем  9·8·6·4·2 = 3456  возможностей.


Ответ

3456 чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 98.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .