ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109997
Темы:    [ Непрерывные функции (общие свойства) ]
[ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Решение

Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций:
(i) сумма и разность непрерывных функций – непрерывные функции;
(ii) если g(x) – непрерывная функция, функция g(ax) также непрерывна.
Теперь заметим, что по условию непрерывны функции f(x)+f(2x) и f(x)+f(4x) , а в силу свойства (ii) вместе с функцией f(x)+f(2x) непрерывна и функция f(2x)+f(4x) . Далее, по свойству (i) непрерывна функция

(f(x)+f(2x))+(f(x)+f(4x))-(f(2x)+f(4x))=2f(x),

а, значит, и функция f(x) .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 99.4.11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .