ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110002
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.


Решение

  Из условия следует, что наш многочлен P(x) имеет ненулевую степень. Можно считать старший коэффициент P положительным (иначе сменим знак многочлена). Если P имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по модулю x он возрастает, и, следовательно, только конечное число значений может принимать более чем в одной целой точке. Поэтому степень P чётна.
  Значит, при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x – убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды. Упорядочим эти значения:  a1 < a2 < ...  и обозначим xk – больший, а yk – меньший прообраз ak. Таким образом,  P(xk) = P(yk) = ak.
  Рассмотрим два старших коэффициента P:  P(x) = axn + bxn–1 + ... .  Тогда
P(c – x) = a(c – x)n + b(c – x)n–1 + ... = axn – ancxn–1bxn–1 + ... = axn + (– anc – b)xn–1 + ... .  Заметим, что коэффициенты при xn у многочленов P(x) и
P(c – x)  совпадают; а для коэффициентов при xn–1 существует единственное значение c:  c0 = – 2b/an,  при котором они совпадают.
  Если  c > c0,  то  P(x) – P(c – x)  – многочлен степени  n – 1  с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны. Поэтому при достаточно больших k  xk + yk < c0 + 0,1  (иначе  P(xk) > P(c0 + 0,1 – xk) > P(yk)).
  Если, наоборот,  c < c0,  то  P(x) – P(c – x)  – многочлен степени  n – 1  с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны. Поэтому при достаточно больших k  xk + yk > c0 – 0,1.  Но  xk + yk  – целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны:  xk + yk = c,  где c – целое.
  Но тогда многочлены P(x) и  P(c – x)  совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак  P(x) – P(c – x)  совпадает со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди xk есть сколь угодно большие числа, и для них  P(c – xk) = P(yk) = P(xk)).
  Итак,  P(x) = P(c – x)  при всех действительных x (то есть график  y = P(x)  имеет вертикальную ось симметрии  x = c/2).  Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке, – это  P(c/2),  да и то, если только  c/2  – целое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 99.4.11.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .