ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110005
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?


Решение

Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1, ..., x10 и S. Тогда     Следовательно,     Пусть  nk = 3k  (k = 1, ..., 10).  Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа    удовлетворяют требованиям задачи.


Ответ

Существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 99.4.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .