ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110019
Темы:    [ Средние величины ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?


Решение

  При  k = 5  годится следующий способ уравнивания давлений. Разделив баллоны на 8 групп по 5 баллонов, уравняем давления в баллонах каждой из этих групп. Затем образуем 5 новых групп так, чтобы каждая из них состояла из 8 баллонов, входивших ранее в разные группы. Равенства давлений в баллонах каждой из новых групп (а значит, и во всех 40 баллонах) достигнем, соединив сначала баллоны по четыре, а затем – по два, беря в каждую пару баллоны из разных четверок.
  Покажем, что при   k ≤ 4  нужного способа не существует.
  Пусть значение давления в одном из баллонов равно 2, а в каждом из остальных – 1; тогда после уравнивания значение давления в каждом баллоне должно оказаться равным  (2 + 39) : 40 = 41/40.
  Но после каждого соединения все значения будут выражаться несократимыми дробями, знаменатели которых не делятся на 5.
  В самом деле, если перед каким-либо соединением ни один из знаменателей на 5 не делился, то и знаменатель среднего арифметического соответствующих двух, трёх или четырёх дробей, являясь удвоенным, утроенным или учетверенным наименьшим общим кратным их знаменателей, не может оказаться кратным 5.
  А так как 40 кратно 5, то уравнять давление при указанных первоначальных их значениях мы не сможем.


Ответ

При  k = 5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 99.4.8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .