|
|
 |
Условие
Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Каждый квадрат (кроме крайних) соединён с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба 3×3×3?
Решение
Предположим, что закрыть поверхность куба удалось. Тогда каждая грань разобьётся на 9 единичных квадратов.
Проведём в каждом квадрате цепочки по диагонали из вершины с шарниром. Получится ломаная из диагоналей на поверхности куба (возможно, пересекающая себя в вершинах звеньев). Из двух вершин ломаной (начала и конца) будет выходить нечётное число звеньев-диагоналей, а из остальных вершин – чётное.
Если же начало и конец ломаной совпадают, то из каждой её вершины выходит
чётное число звеньев.
Если раскрасить вершины квадратов 1×1 в два цвета так, чтобы концы каждой стороны квадрата 1×1 были разного цвета, то все вершины ломаной совпадут с множеством вершин одного цвета (скажем, чёрного), поэтому множество её звеньев – это множество всех диагоналей с чёрными концами. Но среди чёрных вершин окажутся четыре вершины куба, а из каждой такой вершины выходит три диагонали, то есть нечётных узлов окажется 4. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
