ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110039
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Миша решил уравнение  x² + ax + b = 0  и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?


Решение

Предположим, что найдутся два различных уравнения  x² + ax + b = 0  с корнями c, d и  x² + a1x + b1 = 0  с корнями c1, d1, для которых совпадают наборы, указанные в условии. Тогда  a + b + c + d = a1 + b1 + c1 + d1.  По теореме Виета  c + d = – a  и  c1 + d1 = – a1,  поэтому  b = b1.  Так как рассматриваемые уравнения различны,  a ≠ a1.  Без ограничения общности можно считать, что  a1 = c.  Тогда либо  a = c1  и  d = d1,  либо  a = d1  и  d = c1.  В любом случае d – общий корень наших уравнений:  d² + ad + b = 0  и  d² + cd + b = 0.  Вычитая, получим  (a – c)d = 0.  Так как  ac,  то  d = 0.  Значит,  b = 0,  а это противоречит тому, что все числа набора различны.


Ответ

Сможет.

Замечания

Если числа в наборе могут совпадать, то утверждение неверно: у уравнений  x² + 2x = 0  и  x² – 2x = 0  одинаковые наборы из корней и коэффициентов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 00.4.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .