ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110043
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке.

Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.


Решение

Рассмотрим ту же таблицу, но записанную в обратном порядке. В левом верхнем углу этой таблицы стоит число 199³. Сложим эту таблицу с исходной. В получившейся таблице в каждой клетке стоит сумма двух кубов  a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) = 200(a² – ab + b²).  Вынесем общий множитель 200. В оставшейся таблице все числа встречаются дважды, кроме чисел, стоящих на 100-й диагонали, но там стоят чётные числа, значит, сумма чисел в оставшейся таблице чётна.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 00.4.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .