Задача 110049

Темы:    [ Разрезания на параллелограммы ] [ Произвольные многоугольники ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Какое наименьшее число сторон может иметь нечётноугольник (не обязательно выпуклый), который можно разрезать на параллелограммы?

Решение

  Пример для  n = 7  приведён на рисунке.

  Докажем, что не существует пятиугольника, который можно разрезать на параллелограммы.
  Рассмотрим параллелограммы, примыкающие к некоторой стороне. Противоположная сторона каждого из них параллельна стороне пятиугольника. Двигаясь по параллелограммам со стороной, параллельной этой стороне пятиугольника, мы дойдём до другой стороны пятиугольника, то есть для каждой стороны есть параллельная ей. Значит, стороны пятиугольника можно разбить на группы параллельных сторон, причём в каждой группе не менее двух представителей. 5 можно представить в таком виде единственным способом:  3 + 2.  Следовательно, есть три параллельных стороны; это в свою очередь означает, что из одной вершины выходит две параллельные стороны, значит это одна сторона, что невозможно.
  Тем более на параллелограммы нельзя разрезать треугольник.

Ответ

7 сторон.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	00.4.8.3