ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110056
Темы:    [ Итерации ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Приведённый квадратный трёхчлен  f(x) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение  f(f(x)) = 0  имеет три различных корня, а уравнение  f(f(f(x))) = 0  – семь различных корней?


Решение

Пусть x1, x2, x3 – корни уравнения  f(f(x)) = 0.  Корни уравнения  f(f(f(x))) = 0  являются решениями уравнений  f(x) = x1f(x) = x2  и
f(x) = x3.  Каждое из этих квадратных уравнений имеет не более двух корней. Значит, уравнение  f(f(f(x))) = 0  имеет не более шести корней.

Ответ

Не может.

Замечания

Приведённость трёхчлена  f, разумеется, несущественна. То, что он имеет два корня, тоже можно не требовать: если у  f менее двух корней, то многочлен  f(f(x)) имеет не более двух корней.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 01.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .