Задача 110060
|
|
 |
Условие
На плоскости дано бесконечное множество точек S , при этом в любом квадрате 1×1 лежит конечное число точек из множества S . Докажите, что найдутся две разные точки A и B из S такие, что для любой другой точки X из S выполняются неравенства:Решение
Докажем утверждение задачи от противного. Можно предположить, что для любых двух разных точек A и B из S найдется отличная от них точка X из S такая, что либо |XA| < 0,999 |AB| , либо |XB| < 0,999 |AB| .Переформулируем вышеприведенное утверждение: для любого отрезка I с концами в S и длиной l найдется отрезок I' с концами в S длины не более 0,999l , один из концов которого совпадает с некоторым концом отрезка I . Или, иначе говоря, I' пересекает I .
Возьмем теперь первый отрезок I1 длины l и будем брать отрезки I2 , I3 , так, что Ik+1 пересекается с Ik и |Ik+1| < 0,999 |Ik| . Все эти отрезки имеют концы в S . Ломаная не короче отрезка, соединяющего ее концы, поэтому расстояние от любого конца Ik до любого конца I1 не превосходит
Следовательно, в квадрате 2000l×2000l с центром в любом из концов I1 лежит бесконечное число точек S . Но из условия следует конечность их числа в любом квадрате.
Полученное противоречие завершает доказательство.
