ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110064
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Раскраски ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Лифшиц Ю.

Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию  2000(a + b) = c,  то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.


Решение

  Положим  c = 2000(2d + 2).  Тогда из равенства  c = 2000((d + 1) + (d + 1)),  следует, что числа  d + 1  и c одного цвета.
  С другой стороны,  c = 2000(d + (d + 2)),  значит, числа d,  d + 2  и  d + 1  – одного цвета, или трёх разных цветов.
  Поэтому любые три последовательных числа либо одного цвета, либо трёх разных. Если числа 1, 2, 3 – одного цвета, то рассматривая последовательно тройки 2, 3, 4; 3, 4, 5 и т.д., получаем, что все числа – одного цвета. Если 1 – цвета A, 2 – цвета B, 3 – цвета C, то из тройки 2, 3, 4 получаем, что 4 – цвета A; из тройки 3, 4, 5: что 5 – цвета B, и т.д.
  Пусть  a = 3k1 + r1, b = 3k2 + r2c = 3k3 + r3  (r1, r2, r3 – остатки чисел a, b, c при делении на 3).
  Равенство  2000(a + b) = 2000(3k1 + r1 + 3k2 + r2) = 3M – (r1 + r2) = c = 3k3 + r3  возможно только в случае, когда  r1 + r2 + r3  делится на 3, то есть либо когда остатки r1, r2, r3 равны, либо когда они попарно различны.
  Отсюда вытекает, что найденные раскраски удовлетворяют условию.


Ответ

Две раскраски:
  все числа одного цвета;
  числа  3k – 2,  kN  – цвета A, числа  3k – 1  – цвета B, числа 3k – цвета C.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 01.4.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .