Условие
На плоскости даны
n>1
точек. Двое по очереди
соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных
направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех
нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен,
а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение
Выигрывает первый.
Покажем, что первому игроку достаточно каждым ходом проводить вектор с максимальной абсциссой,
а из всех векторов, имеющих абсциссу, равную максимальной,
вектор с максимальной ординатой.
Действительно, докажем, что тогда сумма всех проведенных векторов будет
иметь либо положительную абсциссу, либо нулевую абсциссу и положительную
ординату (назовем такой вектор положительным). Очевидно, что каждым
своим ходом первый игрок проводит положительный вектор, и сумма двух
положительных векторов положительна. Также очевидно, что сумма векторов,
проведенных за ход первым и вторым, положительна или ноль. Поэтому
достаточно доказать, что после первого хода второго игрока эта сумма будет
положительна (т.е. не будет нулевой).
Пусть она нулевая, первый провел вектор
, а второй –
. Если абсциссы
точек
A и
D не равны, то один из векторов
и
имеет абсциссу, большую, чем у
(сумма этих абсцисс равна удвоенной абсциссе
),
что невозможно. Если абсциссы
A и
D совпадают, то не совпадают
ординаты (иначе
A=D ,
B=C ); тогда абсциссы векторов
,
и
равны, но у какого-то из первых двух векторов ордината больше, чем у
третьего, что опять-таки невозможно.
Ответ
Выигрывает первый.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2002 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
Класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
02.4.11.6 |
